在所有关于自然学科的具体理论中，我能找到多少数学就能找到多少真正的科学。
——康德
作为一种存在，元宇宙需要数学的表达，或者说元宇宙本身所蕴含的数学需要我们去探索。本文正是基于这样的努力，希望通过拓扑学、抽象代数、自然变换等数学工具来分析元宇宙。然而，这只是一个初步的尝试。因为用数学来分析和表达元宇宙还有很长的路要走。
拓扑学，字面翻译为“地理学”，最初是指对地形地貌相似的相关学科的研究。拓扑学关注的是对象之间的位置关系，而不是它们的形状和大小。它是数学的一个分支，主要研究各种“空间”在连续变化下的不变性质和不变量。换句话说，拓扑学是用映射(函数)的方法研究空间变换的本质和不同形式之间的变化的一门学科。拓扑学的一般定义是狭义的拓扑学，在空间变换中寻求一个空间立方体不变的普适规律。哲学意义上理解拓扑学更接近广义拓扑学。
早在17世纪，莱布尼茨就指出了“几何位置”和“分析位置”，并提出了拓扑学最初的基本概念。
1736年，瑞士数学家和自然科学家莱昂哈德欧拉(1707-1783)和欧拉特征被认为是这个领域的第一个定理。
1848年，李斯特(1808-1882)首次采用了“拓扑学”这个术语。
1851年，格奥尔格弗里德里希波恩哈德黎曼(1826-1866)定义了黎曼曲面，极大地促进了拓扑学的建立。
1858年，Mobius (1790-1868)和Listing独立地发现了不可定向曲面。
1863年，莫比乌斯给出了情境几何的定义。多亏了儒勒亨利庞加莱(1854-1912)，拓扑学才正式成为一门独立的学科。
自20世纪以来，拓扑学已成为任意点集的相应概念。拓扑学中一些需要精确描述的问题可以用集合来讨论。
20世纪30年代以后，一致结构概念、抽象距离概念和近似空间等概念被提出，拓扑学得到了显著发展。
拓扑学在理论上已呈现出两个分支：一个侧重于分析方法，称为点集拓扑学，或解析拓扑学；第二种侧重于代数方法，称为代数拓扑。
现在，这两个分支有了统一的趋势。因为大量的自然现象是连续的，所以拓扑学具有与各种实际事物广泛联系的可能性。现在，“一个非常吸引人的想法是用几何的方式来描述物质，用几何中的拓扑性质来描述物质的那些守恒性质”。
在拓扑学中，拓扑空间是核心概念。拓扑空间是一组具有最基本结构的数学对象。
拓扑空间的定义：拓扑空间(x，)中数学对象的集合为x，空间拓扑为，包含x的一系列子集，满足以下条件：
(1)X和空集包含在中；
(2)中集合的任何并也在中；
(3)中集合的任意有限交也在中。
如果指定了x的子集族，其中集合在x中称为开集，它具有以下性质：
则称集合X配有拓扑空间结构或拓扑，或称X是拓扑空间。
通过对拓扑学的学习，可以明确空间的集合结构，把握空间之间的函数关系。在函数的范畴中，如果a是自变量，b是因变量。在拓扑范畴中，自变量称为“原象集”，因变量称为“象集”。映射是指“原象集”和“象集”之间的函数关系。见附图1。
图1“原始图像集”和“图像集”之间的函数变化关系
由于拓扑性质，拓扑空间对于集合具有紧性和连通性；针对子集的密度和图像的连续性特点。
一般拓扑空间没有范数，只有开集，所以拓扑一上来就定义开集。
拓扑空间中连续性的定义是X和Y是拓扑空间，F: X Y是映射，F在X中连续的充要条件是f-1(U)对于Y中的任意开集是X中的开集。
计算机网络中引入了拓扑结构的概念，拓扑结构是指网络中各种站点和节点的互连形式，反映了网络中各种实体的结构关系。它是构建计算机网络的第一步，是实现各种网络协议的基础，对网络的性能、系统的可靠性和通信成本都有很大的影响。
拓扑空间无疑为思考元空间提供了思想资源。因为元宇宙是一种拓扑空间形式。
抽象代数又称近世代数，是研究各种抽象公理代数系统的数学学科，与其他数学分支相结合，产生代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。也是诞生于19世纪的现代计算机理论的基础之一。
抽象代数的重要创始人是e .伽罗瓦(1811-1832)，他的伽罗瓦群理论被公认为19世纪最杰出的数学成就之一。后来经过数学家凯利(1821-1895)、戴德金(1831-1916)、威廉斯坦尼特和艾米诺特(1882-1935)，现代抽象代数体系才最终构建起来。
虚拟世界和现实世界的关系非常符合抽象代数的同构群定理。抽象代数研究基本代数结构的性质以及能保持代数结构之间运算性质的映射(也叫态射)。通过研究和确定一个对象集合的性质，可以了解和解决另一个对象集合中的复杂关系问题，找到它们之间可能存在的某些集合元素的对应变换的等价性。如果R是现实世界中的一组对象元素，R '是虚拟世界或元宇宙中的一组虚拟元素，那么R '就是现实世界R的缩小或压缩，即虚拟世界R '小于现实世界R，所谓“元宇宙”就是现实世界R和虚拟世界R '的并集。抽象代数建立的同态像和同构模型有助于我们理解“元宇宙”与现实世界的关系。见附图2。
图2同态映射图
抽象代数的基本概念是群、环和域。换句话说，群、环和域构成了抽象代数的基本代数结构。本文讨论了元宇宙与抽象代数的关系，重点讨论了群论和群模型。
基本定义：(1)代数运算。定义了一组非空的代数运算。(2)结社法。(ab)c=a(bc)，Aa，b，cG .(3)单位存在规律。AeG，ea=ae=a，AaG .(4)逆元素的存在规律。AaG，AbG，ab=e .
群定义的推导：(1)群，满足上述四个群的基本定义的非空集。(2)半群，只满足前述群的基本定义中前两项的非空集：定义了集合上的代数运算；结合律适用，但不要求有单位和逆元。(3)幺半群，满足前述群的基本定义中前三项的非空集：定义了集合上的代数运算；适用结社法；单位存在，但不需要逆元素。(4)阿贝尔群，在满足以上四个群的基本定义的前提下，再加一个：群的元素满足交换律。
群与现实世界：(1)面晶群，又称“壁纸群”，G. Polya于1924年完成了面晶群的分类：有17种不同的面晶群。(2)空间晶体群，费多罗夫和舍恩弗里斯独立证明了有230个空间晶体群。(3)魔方组。
群和数集：整数加群，实数加群，n次单位根群(Un的生成元成为复数域的n次本原单位根)。几何中的群的例子主要有：(1)欧氏群(符号En)，定义为N维空间中所有正交点的变换的集合；(2)二面体群，符号为Dn，定义为正N多边形的对称群，n3。
群和代数：相对复杂，见表1。
附表1群和代数
群与超宇宙的关系涉及群的性质和对称性，以及群的九种定义。
定义1:设集合X={1，2，3，…，n}，集合X的一个置换是其自身的双射。
定义2:集合X的所有置换，记为Sx，称为集合X上的对称群，当X={1，2，3，…，n}时，Sx一般记为Sn，称为n个字母的对称群。
定义3:假设Sn，i{1，2，3，…，n}。如果 (i)=i，则称为固定I，否则称为移位I。
定义4:设i1，i2，…，ir为{1，2，3，…，n}中不同的整数。如果 (i1)=i2， (i2)=i3，…， (ir-1)=ir， (ir)=i1，固定为其他整数，我们称。长度为2的旋转称为交换的2-旋转和单位元素的1-旋转。
定义5:若G是一个群，rG，设〈R={ RN:R G }={ R的全部幂}，称RR是R生成的且属于G的循环子群，若存在RG使得G=，则称G是循环群，R是循环群G的生成元，见附图3。
图3循环群的同构
数学(代数)结构的例子：循环群中的每个元素都是由一个特殊元素(生成元)的循环运算(如指数幂运算)生成的，形成一个自封闭的循环，生成元素的个数称为循环群的阶。循环群是最简单的代数结构。如图3，外层是从左到右由3，5，n个元素组成的循环群，都是由同一个元素生成的，内层是F变换映射的另一个同构集。由内层和外层元素组成的集合在F变换下的性质是相同的。如果很难研究外层元素，可以做一个同构(同态)变换，研究更简单的内层元素的性质，两者是等价的。
N-puzzle是最早的滑块游戏之一。常见的类型有十五位数的推送游戏和八位数的推送游戏，还有一些以图片代替数字的推送游戏。诺伊斯帕尔默查普曼在1874年发明了15位数的推板，萨姆劳埃德也在1891年声称其发明权。
图4展示了一个15字谜的初始状态，移动规则是：#字符只能上下/左右移动，与一个相邻的数字换位。该游戏的目标是在有限的步骤中移动#字符，以便包括#字符在内的16个字符可以恢复到最终的有序状态，如图5所示。
图4游戏的初始状态
图5游戏最终状态
历史上的游戏实践表明，有些15字谜初始状态可以通过有限的步进运动恢复到最终的有序状态，有些则不能。根据游戏移动规则，角色排列状态只能通过移动#角色来更新。因此，如果要求处于最终状态的#字符返回到其原始位置，则#字符的移动步数必须是偶数。如果#人物的每一次移动都相当于一次交换，那么就可以通过置换群论，通过游戏移动规则来判断游戏的任何初始状态是否可以回到最终状态。我们把博弈的初始状态看成是最终状态的一个置换，根据置换的分解定理和置换的奇偶性可以判断博弈初始状态的奇偶性。如果博弈的初始状态是偶数，我们可以通过有限步恢复最终的有序状态。如果博弈的初始状态是奇异的，就不可能通过有限步恢复到最终的有序状态。在例子中，初始状态替换可以分解为=(13489215147)(510)(61113)(12)(16)，可以计算出它的奇偶性sgn()=(-1)16-5=-1=奇点，所以初始状态不可能通过游戏规则恢复到最终的有序状态。
定义6:运动变换是一种能保持几何距离的双射变换。对于R2R2的所有点，对于R2的所有点，P=(a，b)和Q=(c，d)(P)-(Q)=P-Q‖。复合函数下的一个运动变换群由所有的运动变换组成，是R2中的一个置换群。
的子群。如果P和Q是平面上的两点，连接P和Q的线段是PQ，那么运动变换满足下列性质：
有三种基本的运动变换：旋转、反射和位移。可以证明，任何一种运动变换都是这三种基本运动的组合，运动变换可以保留几何图形的性质。
旋转变换：从一个图形到另一个图形的变换。在变换过程中，原图形上的所有点都围绕一个固定点同方向旋转相同的角度。这种图形变换称为图形旋转变换，简称旋转。这个点称为旋转中心，旋转角度称为旋转角度。
反射变换：从一个图形到另一个图形并使这两个图形关于一条直线对称的变换称为图形的反射变换，也叫轴对称变换。轴对称变换不改变原始图形的形状和大小。
平移变换：从一个图形到另一个图形，在变换的过程中，原图形上所有点都向同一个方向移动，移动距离相同。这种图形变换称为图形的平移变换，简称平移。
图6旋转变换
图7反射变换
图8平移变换
如果是运动变换，PQ是平面上端点为P和Q的线段，那么(PQ)是端点为(P)和(Q)的线段。若是端点为1，2，…，n的多边形，则 ()是端点为 ( 1)，(2)，…，()，和 ()全等的多边形。
定义7:平面图形的对称群 ()是满足 ()=的所有运动变换的集合， ()是平面图形的对称图形的集合。
定义8:端点为12的正多边形n的对称群 (n)， n和中心o称为2n元二面体群，记为D2n。
图9正六边形的对称性
拉格朗日定理：如果是有限群的子群，一定是除数。
定义9:对于两个群(G，*)和(h，)如果f (x * y)=f (x) f (y)对于所有的x，yG都存在，我们称函数f: g h为同态映射。如果f仍是双射，那么函数f是同构的。如果在一个群(g，*)和一个群(h，)之间有一个同构映射f: g h，那么g和h是同构的，记为
比如函数f(x)=ex定义的加法群R和乘法群R >之间存在同构，因为对于所有的x，yR，我们有f(x y)=ex y=exey=f(x)f(y)。复加群C与加群R2之间存在由F: A IB (a，b)定义的同构映射F: C R2。
第一个同调定理：如果f: g h是同态映射，那么有
进一步，如果ker f=K，函数: g/k IMF h是由: AK f (a)定义的同构映射。
图10第一同构定理的图解
可以认为虚拟世界R’是现实世界R的缩小或压缩的存在.通常，虚拟世界R’小于现实世界R.所以，超宇宙=现实世界R虚拟世界R’。见附图11。
图11示出了第一同构定理。
A4:由12个元素组成的现实世界的对象及其关系，本质上可以抽象为4个最简单的循环群，每个群有3个元素：(E，A，a2)，(X，B，c2)，(Y，D，b2)，(Z，C，D2)；
C3:代表虚拟世界，是对现实世界中物体及其关系的抽象或压缩，可以用三个元素来表示：0，1，2；
Ker():一个叫的核，指A4中四个元素在C3中可以由映射到0的集合，即{e，x，y，z }；
A4/Ker():A4的商群由Ker()构造，相当于模运算的压缩。根据图像和核Ker()将A4中的元素分成三个子集：Ker()、aKer()和a2Ker()，分别映射到C3中的0、1和2元素。
理解示例：
将0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11分成0，3，6，9[即Ker()，可表示为3i 0，i=0，1，2，3]；
1，4，7，10[即aKer()，可表示为3i 1，i=0，1，2，3]；
2，5，8，11[即a2Ker()，可表示为3i 2，i=0，1，2，3]。
通过映射，Ker()映射到C3的元素0，aKer()映射到C3的元素1，Ker()映射到C3的元素2。
第二同构定理：若H，K是群G的子群，[插图]，则HK也是子群，[插图]且有[插图]。
第二同构定理表明，当一个子群是正规子群时，关于该群的阶存在一个乘积关系，即有一个图解就有一个图解，即一个图解。
第三同构定理：如果H和K是群H和K的正规子群。同构第三定理说明(G/K/(H/K))中的K可以互相抵消。
第四同构定理(相关定理):设(G/K/(H/K))中的K是一个群，[图解]，: g g/k是一个自然映射，那么S(S)=S/K是来自所有子群sub(G；K)到G/K中所有子群sub (G/K)的双射。
如果定义了S*=S/K，则有：当且仅当T*S*，我们有TSG，[图解]；当且仅当TSG，【图解】；那时，我们有插图。
除了以上四个同构定理，还涉及到以下四个相关定理。
Cayley定理：每个群都能在对称群SG中找到一个同构的子群。如果|G|=n，那么G同构于Sn的一个子群。
图12第四同构定理(关联定理)示意图
陪集表示定理：设G是群，H是G的指数为n的子群，则存在同态: G Sn，ker H。
因为素数阶的群是唯一的，所以我们只列出一些有限阶复数群的非同构群的个数，如表2所示。
表2有限群的非同构群的个数的例子
柯西定理：如果有限群G的阶可被素数P整除，那么G包含一个P阶元素.
定义：若G是作用于有限集X的群，xX，则X的轨道记为O(x)，它是集合X的子集，O(X)={ GX:GG } X；定义X，Gx的稳定集，Gx={G G: Gx=X} G，则GX是G的子群
not-伯恩赛德引理：设G是作用在有限集X上的群，若n是迹的个数，则有一个图解，其中F()是对固定的集合X上的元素个数。应用举例：计算红白蓝国旗设计方案的数量。
假设国旗有六条丝带，每条丝带的颜色可以是红白蓝中的一种。问：有多少种不同的丝带组合？
我们把带状排列看成是由六个元素组成的排列组合集合X，其中x=(c1，c2，c3，c4，c5，C6) X .设=(6，5，4，3，2，1)是(1，2，3，4，5，6)的逆置换，即(123456)=(654321)=(16)(25)(34)，则a由构成。对于x=(c1，c2，c3，c4，c5，c6)，如果c1=c6，c2=c5，c3=c4存在，则(x)=x，即固定x。
因此，根据非伯恩斯坦定理，我们可以计算出6色带国旗的不同设计方案的数量如下：